引子：降维打击 科幻小说《三体》里一种很魔幻的攻击方法——降维打击，以其神奇的作用方式和巨大的威力刷新了我们的三观。
引子：降维打击
科幻小说《三体》里一种很魔幻的攻击方法——降维打击，以其神奇的作用方式和巨大的威力刷新了我们的三观。而在矩阵乘法计算中，这种降维打击时刻存在着。本节讲解一下矩阵乘法中造成的升维和降维。
一、矩阵的降维
还用游戏的例子，有 4 个角色，每个人都有不同的能力，将其用矩阵表示出来
现在我们要评估他们的两种能力：领兵打仗的能力和协同将领的能力
只要将两个矩阵相乘，就能根据 方法 X 对象 的法则评估出他们这两种能力值
我们生活中常见到的物体比如苹果，它是一个三维的物体，而当它被灯光照亮投影到地面上，它就形成了一个二维的影子。虽然通过影子我们也能看出来它大概的样子猜出它是一个苹果，但是它具体的颜色、红晕、斑纹的信息都消失了。
也可以用上一节中讲的空间变换来解释，将四维的对象在二维空间中展开了，得到的是二维空间中一个新的表现形式。
二、矩阵的升维
同样是这几个角色
我们多考察几种能力
得到的评估结果是
也可以用上一节中讲的空间变换来解释，将四维的对象在五维空间中展开了，并且通过添加其他信息扩展到了五维，得到的是五维空间中一个新的表现形式。
三、空间的坍塌（降维打击）
来看一个简单的矩阵乘法：
本来矩阵 A 可以张成一个二维空间， 但是经过左乘矩阵 B 之后，矩阵 C 却只能张成一个一维空间，也就是空间坍塌了！
原因是什么呢？是因为
它用来组成空间的两个基重叠了！导致二维空间坍塌成了一维空间。
四、矩阵的秩
我们来看一下上面的 A、B 两个矩阵，它们的秩有什么问题
因为 A 中的两个向量它们线性无关， 它们的秩 R(A)=2； B 中的两个向量线性相关，它们的秩 R(B)=1。
秩
矩阵的秩，就是矩阵的列向量（或行向量）所能张成的空间的最大维度
（1） 若 N 个 N 维列向量线性无关，则它们可以张成 N 维空间，它们的秩就是满秩。
举个例子： 组成矩阵 D 的 a、b、c 三个列向量线性无关，可以张成一个三维的空间。
（2）若向量之间线性相关 (则其中的一些向量可以用另一些向量表示出来，基有重叠），它们就无法张成一个满秩的空间。
举个例子： 组成矩阵 F 的 3 个列向量 a1、a2、a3 线性相关，虽然有 3 个向量，但是秩 r(A)=2，只能张成二维空间。
更进一步地，如果这些向量之间两两正交，则这些向量可以组成这个空间的一组基；如果再对这些基进行标准化，则这些基称为标准正交基。
五、行列式
行列式的本质意义是什么呢？
从空间的伸缩性应该更容易理解一点。
单位矩 E 的行列式等于 1， 它的行列式的几何意义可以看做是一个边长为 1 的超正方体的体积。
对单位矩阵 E 的各个向量进行伸缩、平移、旋转之后，组成了一个超平行多面体，
行列式的几何意义就是行列式中的各列向量（或行向量）所构成的超平行多面体的有向体积（小于 3 维时为有向面积 ）。
从伸缩的角度来看，行列式可以看成是对单位矩阵的行列式各向量的伸缩，因此行列式的几何意义也可以看作
对单位矩阵的行列式体积的伸缩率。
那么，为什么不是满秩的矩阵它的行列式为 0 呢？
因为行列式就是体积的伸缩率，它遭到了降维打击，有的维度被踩扁了，在该方向上伸缩率变成了 0，对所有的伸缩率进行叉乘的时候，不管有多少个伸缩率，|a|·|b|·|c|· |d|·0· cosα·cosβ·cosγ = 0 一定成立。
你都把它踩扁了还指望它有能有体积吗？
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